Кепплер издает законы о движении планет - история

Кепплер издает законы о движении планет - история



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

В 1609 году Иоганн Кеплер опубликовал свои первые два закона движения планет. Его законы объясняли движение планет вокруг Солнца.

Заявление об ограничении ответственности: следующие материалы хранятся в Интернете в архивных целях.

Обзор для учителей естественных наук


    Ниже приводится лекция, прочитанная 23 марта 2005 г. учителям естественных наук округа Энн Арундел, штат Мэриленд. Он содержит обзор законов Кеплера с примерами, приложениями, проблемами и связанной историей, ресурс для учебных материалов.
    Он привязан к соответствующим разделам книги «От звездочетов до звездолетов». Учителям также были вручены диски с веб-материалами, что позволило получить к ним доступ в автономном режиме.


Большая часть этого обзора взята из подробного курса астрономии, ньютоновской механики, физики Солнца и космических полетов «От звездочетов до звездолетов». Его домашняя страница http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm, а также включает переводы (испанский, итальянский и французский), глоссарий, хронологию, задачи, планы уроков, более 500 ответов на вопросы пользователей. и более. Он использует алгебру и тригонометрию (в которые включен краткий курс), подчеркивает концептуальное понимание, историю, приложения и связи с культурой и обществом, а его разделы охватывают широкий диапазон уровней, от средней школы до колледжа первокурсника.

Краткое руководство по разделам «Звездочетов», относящимся к законам Кеплера, можно найти в разделе «Законы Кеплера». В дальнейшем эти разделы иногда будут называться номерами. Вы также можете перейти к полному списку ссылок либо из «Карты сайта» в верхней части этой страницы, либо из «Назад на домашнюю страницу» в конце.

    Обратите внимание, что адреса здесь сокращены, потому что вы уже вошли в «Звездочеты».
    Таким образом, главная страница - Sintro.htm.
    не http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm

"Звездочеты" содержат больше материала, чем можно охватить на обычном занятии. Тем не менее, учителям нужны более широкие знания, позволяющие им выбирать материал в зависимости от обстоятельств и упоминать странные лакомые кусочки без подробного обсуждения, просто чтобы вызвать интерес.

А некоторые очень удачливые учителя могут иногда находить в классе одного или двух детей, которые действительно хотят узнать больше. Таких студентов можно направить сюда, чтобы удовлетворить их интерес.

В этом обзоре основное внимание уделяется трем пунктам:
--- что такое законы Кеплера, что они означают и почему они важны.


  1. Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, при этом Солнце находится в одном фокусе.
  2. Линия, соединяющая Солнце с планетой, проходит равные площади за равное время.
  3. Квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу (в третьей степени) среднего расстояния от Солнца.
    (также обозначается как "большая полуось" орбитального эллипса, половина суммы наименьшего и наибольшего расстояний от Солнца)

Значение законов Кеплера

Законы Кеплера описывают движение планет вокруг Солнца.
Кеплер знал 6 планет: Землю, Венеру, Меркурий, Марс, Юпитер и Сатурн.

Орбита Земли вокруг Солнца.
Это вид в перспективе, форма
фактическая орбита очень близка к кругу.

Все они (а также Луна) движутся почти в одной плоскости (сечение №2 в «Звездочетах»). Солнечная система плоская как блин! Земля тоже на блинчике, поэтому мы видим всю систему с ребра - весь блин занимает одну линию (или, может быть, узкую полосу), пересекающую небо, известную как эклиптика. Каждая планета, Луна и Солнце тоже движутся вдоль эклиптики или около нее. Если вы видите группу ярких звезд, тянущихся в линию по небу - возможно, эта линия также включает Луну (чья орбита также близка к тому «блинчику») или место на горизонте, где Солнце было просто установите - вы, вероятно, видите планеты.

    Древние астрономы полагали, что Земля была центром Вселенной - звезды находились на сфере, вращающейся вокруг нее (теперь мы знаем, что на самом деле это Земля вращается), а планеты движутся по своим собственным «кристаллическим сферам» с переменной скоростью. Обычно они двигались в одном направлении, но иногда их движение менялось на месяц или два, и никто не знал почему.

Польский священнослужитель Николай Коперник к 1543 году понял, что эти движения имеют смысл, если планеты движутся вокруг Солнца, если Земля является одной из них и если более далекие из них движутся медленнее. Затем Земля иногда обгоняет более медленные планеты, более удаленные от Солнца, заставляя их позиции среди звезд смещаться назад (на некоторое время). Орбиты Венеры и Меркурия находятся внутри орбиты Земли, поэтому их никогда не видно далеко от Солнца (например, в полночь).

Я надеюсь, что вы, описывая эти особенности - «блин» эклиптики, обратное («ретроградное») движение, Венера всегда близко к Солнцу - поможет студентам почувствовать появление планет на небе, как яркие звезды движутся по тому же пути, что и Солнце и Луна. 12 созвездий вдоль этой линии известны как зодиак, имя, которое должно быть знакомо тем, кто следит за астрологией. Венера, самая яркая планета, кажется, подпрыгивает взад и вперед по положению Солнца, как и Меркурий, но поскольку он намного ближе к Солнцу, вы можете увидеть его только там, где он наиболее удален от Солнца, и затем только вскоре после захода солнца или перед восходом солнца.

Студенты, вероятно, слышали или читали, что Папа и церковь боролись с идеей Коперника, потому что в одном из псалмов (которые на самом деле являются молитвенными стихотворениями) Библия говорит, что Бог «установил Землю, чтобы она не двигалась» [что был один перевод: более правильным может быть «не рухнет»]. Галилей, итальянский современник Кеплера, который поддерживал идеи Коперника, был осужден церковью за непослушание и был приговорен к домашнему аресту на всю оставшуюся жизнь.

Это была эпоха, когда люди часто следовали древним авторам (например, греческому Аристотелю), а не проверяли собственными глазами, что на самом деле делала Природа. Когда люди начали проверять, наблюдать, экспериментировать и вычислять, наступила эра научной революции и технологий. Наша современная технология - это конечный результат, и законы Кеплера (вместе с работами Галилея и Уильяма Гилберта по магнетизму) важны, потому что они положили начало этой революции.

Йоханнес
Кеплер

Кеплер работал с Тихо Браге, датским дворянином, который довел астрономию до телескопов до высочайшей точности, измеряя положения планет настолько точно, насколько мог различить глаз (Браге умер в 1602 году в Праге, теперь телескопы чешской столицы начали с Галилея около 1609 года. ). Если вы хотите прочитать об этом, я рекомендую "Тихо и Кеплер" Китти Фергюсон, обзор на http://www.phy6.org/outreach/books/Tycho.htm или, по крайней мере, прочитать обзор. Приведу цитату из него:

    Религиозная нетерпимость была широко распространена - события действительно приближались к 30-летней войне (1618-48), самой разрушительной религиозной битве в Европе, отраженной гражданской войной в Великобритании. Кеплер был изгнан из Граца вместе со всеми другими служащими протестантских колледжей в городе после того, как правящий эрцгерцог постановил, что они должны покинуть город к ночи того же дня. Это была также эпоха, когда мать Кеплера была арестована за колдовство, когда большинство его многочисленных детей умерло в детстве, и когда брак Тихо считался второсортным союзом «малфредов», потому что его избранная жена не была из знати.

Постарайтесь донести это до студентов. В 1620 году «Паломники» высадились в Плимут-Рок, спасаясь от разразившейся религиозной войны, которая позже опустошила Европу. Вполне возможно, что именно память о таких войнах заставила США гораздо позже издать декрет об отделении церкви от государства. Объясните, как часто развитие науки и общества тесно связаны.

Первый закон Кеплера

Сначала объясните, что такое эллипс: одно из «конических сечений», форм, получаемых путем разрезания конуса с плоской поверхностью. Фонарик создает конус света: направьте его на плоскую стену, и вы получите коническое сечение.

    Ударьте по стене перпендикулярно. Стена разрезает конус перпендикулярно его оси, и вы получаете круг света.

Наклон конуса относительно стены: эллипс. Чем больше вы наклоняетесь, тем дальше смыкается эллипс.

Кривые, построенные как
"конические секции" в плоском состоянии
плоскости разрезаются по конусу.

Наконец, если ось конуса параллельна стене, кривая никогда не замыкается: вы получаете параболу. Законы Кеплера (в том виде, в каком мы их теперь знаем) допускают все конические сечения, а параболы очень близки к орбитам непериодических комет, которые начинаются очень далеко.

Есть еще много всего. но позвольте мне поднять два момента. Это хорошие моменты, которые можно поднять в классе, потому что они объединяют работы Кеплера около 1610 года с последними научными открытиями 21 века.

Прежде всего, ниже показан очень известный эллипс. Его история рассказана в разделе № S7-a http://www.phy6.org/stargaze/Sblkhole.htm.

Вы, наверное, все знаете, что наше Солнце является частью огромного скопления звезд в форме диска - по последним подсчетам около 100 миллиардов - называемого галактикой. Это плоский диск, блин, как Солнечная система - и здесь мы тоже смотрим на этот блин сбоку, так что он тоже вырезает вид узкой полоской. На этой полосе мы видим пояс слабых звезд, бегущих по всему земному шару, «Млечный Путь».

Что связывает нашу галактику (и более далекие) вместе? Долгое время считалось, что в центре находится огромная черная дыра, но эта середина была скрыта облаками пыли, и поэтому наблюдать ее было нелегко. Недавно были построены телескопы с высоким разрешением, чувствительные к инфракрасному свету, которые могут видеть сквозь пыль, и они показали большую концентрацию быстро движущихся звезд около центра галактики на орбитах, подчиняющихся законам Кеплера. На веб-сайте показан эллипс звезды, обращающейся вокруг центра один раз в 15,2 года, а расчеты показывают массу около 3,7 миллиона солнц, плюс-минус 1,5 миллиона.

    [Только для астрономов: центральная масса помогает удерживать галактику вместе, но здесь задействовано гораздо больше массы, поэтому вращение более протяженных частей галактик не подчиняется 3-му закону Кеплера. Фактически, их основные части кажутся вращающимися как твердые диски, что трудно объяснить, если мы не предположим, что галактики содержат, помимо сияющих звезд, много «темной материи», которая влияет на гравитацию, но невидима. См. Примечание и конец # 20]

Во-вторых, мы сказали, что Земля вращается вокруг Солнца (и, кстати, те же законы справедливы и для искусственных спутников, вращающихся вокруг Земли). Но представьте, что вы можете постепенно делать Землю все тяжелее и тяжелее, а Солнце в то же время все легче и легче. Что тогда? В точке, где Земля и Солнце одинаково тяжелы - какие орбиты какие?

    --- Сначала он разработал основные законы движения, известные с тех пор как «3 закона движения Ньютона», и вы, вероятно, тоже учите их.

--- Во-вторых, он дал нам закон всемирного тяготения - показал, что та же сила, которая заставляла яблоки и камни падать, также удерживала Луну на своей орбите - и поэтому, вероятно, создала все орбиты в Солнечной системе. .

Почему это важно? Потому что это помогает нам узнать, есть ли у других звезд планеты! Мы не можем видеть эти планеты - они слишком тусклые - но если звезда так сложно покачивается взад и вперед, это может быть связано с тем, что планета заставляет ее двигаться.

Это работает? Да и нет (конец №11а). Таким образом было открыто множество планет, но большинство из них слишком близко к звезде (колеблется в неделях) и очень большие. Обнаружить планеты, похожие на Землю, труднее - покачивание меньше, и нам нужно наблюдать в течение многих лет, чтобы определить периодичность порядка одного года. Но следите за обновлениями, над этим работают астрономы.
------------------

2-й закон Кеплера

(Эту линию иногда называют «радиус-вектором»).

Иллюстрируя 2-й закон Кеплера:
отрезки AB и CD занимают
равное количество раз, чтобы покрыть.

Эллипс представляет собой симметричный удлиненный овал с двумя фокусами, симметрично расположенными по направлению к «более острым» концам - один фокус содержит Солнце, другой - пустой. (Нарисуйте такой эллипс.) Если мы приближаем фокусы все ближе и ближе, эллипс становится все более и более похожим на круг, а когда они перекрываются, у нас действительно есть круг.

    [Орбита Земли и большинство планетных орбит очень близки к кругам. Если бы вам показали орбиту Земли без Солнца в фокусе, вы, вероятно, не смогли бы отличить ее от круга. Однако с включенным Солнцем вы могли заметить, что оно немного смещено по центру.]
    (Звезда S2 ускоряется до 2% скорости света, приближаясь к черной дыре в центре нашей галактики!)

То, что происходит, лучше всего понять с точки зрения энергии. Когда планета удаляется от Солнца (или спутника от Земли), она теряет энергию, преодолевая силу гравитации, и замедляется, как камень, брошенный вверх. И, как и камень, он восстанавливает свою энергию (полностью - без сопротивления воздуха в космосе), когда возвращается.

Здесь есть простое упражнение, которое также находится в разделе № 12A http://www.phy6.org/stargaze/Skepl2A.htm.

Предположим, у вас есть планета, наименьшее / наибольшее расстояние от центра которой (r 1, r 2) - они называются перигелием и афелием [ап-гелием]), если центром является Солнце, или (перигей, апогей), если центр - Земля. (Расстояния всегда измеряются от центра тел или от центров тяжести)

Скажем, это планета, вращающаяся вокруг Солнца. потом
- скорость V 1 в перигелии самая быстрая для орбиты. Следовательно, это расстояние, пройденное в перигелии за одну секунду.
- скорость V 2 в афелии самая медленная для орбиты. Следовательно, это расстояние, которое проходит в афелии за одну секунду.

Площадь, охватываемая «радиус-вектором» r в течение одной секунды после перигелия, представляет собой прямоугольный треугольник с основанием V 1, поэтому его площадь составляет 0,5 r 1 V 1.

Площадь, охватываемая «радиус-вектором» r в течение одной секунды после афелия, представляет собой прямоугольный треугольник с основанием V 2, поэтому его площадь составляет 0,5 r 2 V 2.

По закону площадей обе площади одинаковы, поэтому r 1 V 1 = r 2 V 2.
Разделите обе части на r 1 V 2
и получаем V 1: V 2 = r 2: r 1

Если афелий r 2 в 3 раза превышает расстояние перигелия, скорость V 2 там в 3 раза меньше. (Примечание: это соотношение работает только в этих двух точках орбиты. В другой точке скорость и радиус не перпендикулярны.)
----------------

Когда мы ближе всего к Солнцу? Примерно 4 января, примерно на 1,5%, недостаточно, чтобы Солнце выглядело иначе.
Вот быстрый способ продемонстрировать эту асимметрию (хотя у вас может не быть времени осветить ее в классе). Нарисуйте эллипс с длинной осью и перпендикулярной к нему линией через Солнце)
Так получилось (чистая случайность), что весеннее и осеннее равноденствия, когда день и ночь равны, обычно 21 марта, 22 или 23 сентября, попадают очень близко к этой перпендикулярной линии.

Взгляните на схематический вид земной орбиты в разделе №3. Длинная ось (как определено выше) - это линия, соединяющая декабрь-июнь на этом чертеже, а перпендикулярная линия - это линия, соединяющая март-сентябрь.

На самом деле, оба условия выполняются, если Земля находится ближе всего к Солнцу около 4 января. «Половина» эллипса (определяемого перпендикулярной линией, определенной выше), которая находится ближе к Солнцу, меньше (с помощью рисунка эллипса продемонстрируйте, что имеет овальную форму), а согласно 2-му закону Кеплера, Земля движется быстрее, когда приближается к Солнцу.
-------------------------

Тот факт, что северное полушарие находится ближе всего к Солнцу в середине зимы и наибольшее расстояние в середине лета, смягчает времена года, делая их более мягкими.
В южном полушарии они будут более резкими, хотя большие океаны там смягчают этот эффект.

Но ось Земли движется по конусу примерно за 26000 лет. Через 13000 лет мы будем ближе всего к Солнцу в середине лета, и климат станет более суровым. Как описано в разделе 7, это может быть один из эффектов, связанных с происхождением ледниковых периодов, но детали выходят за рамки этого обзора.

3-й закон Кеплера

    (3) Квадрат периода обращения планеты пропорционален
    кубу среднего расстояния от Солнца

Это математический закон, и вашим ученикам нужны калькуляторы с квадратными корнями, а также с 3/2 степенями и 2/3 степенями (и, возможно, кубическими корнями или 1/3 степенями, то же самое).

Если две планеты (или два спутника Земли - работают одинаково) имеют периоды обращения T1 и T2 дней или лет и средние расстояния от Солнца (или больших полуосей) A1 и A2, тогда формула, выражающая 3-й закон, имеет вид

Студенты сразу же спросят - мы можем считать дни, чтобы получить орбитальный период T (хотя это может быть сложно, нам нужно вычесть движение Земли вокруг Солнца) - но как мы узнаем расстояние A?

По правде говоря, мы этого не делаем, но замечаем, что необходимы только отношения расстояний, а единицы не влияют на отношения. Например, предположим, что «Планета 2» - это Земля, и все время указывается в годах. Тогда T 2 = 1 (год), и мы можем измерить все расстояния в астрономических единицах (AU), среднее расстояние Солнце-Земля, так что A 2 = 1 (AU). Тогда для любой другой планеты закон будет иметь вид (T 1) 2 = (A 1) 3. Это можно проверить, и в разделе 10 вы найдете результаты в таблице:

Вы можете видеть, что даже с нашей ограниченной точностью закон выполняется довольно хорошо. Он также показывает, чем больше расстояние, тем медленнее движение, что приводит к обгону Землей внешних планет, заставляя их (на некоторое время) двигаться назад относительно неподвижных звезд на небе. Вы можете доказать все это математически для круговых орбит, используя законы Ньютона (см. Раздел №21), но я снова пропущу это.

В километрах астрономическая единица составляет около 150 000 000 км, что в 400 раз больше расстояния до Луны. Были предприняты всевозможные попытки вывести его, начиная с древнегреческого Аристарха (раздел № 9а), и они обсуждаются в разделе № 10а. Впервые это было сделано с какой-либо точностью в 1672 году, и ажиотаж по поводу недавнего «прохождения Венеры» перед Солнцем был мотивирован предложением, сделанным тогда Галлеем (известным кометой), использовать такие редкие транзиты для измерения а. . Самые последние произошли в 2004 и 2012 годах, затем проходит более века до следующего. Грубая версия расчета, а не краткая, находится в разделах с № 12c по № 12e "Звездочеты". (Некоторые другие «методы» можно найти в сети, связанные с прохождением Венеры, но не с его продолжительностью, и они не являются подлинными.)

С помощью 3-го закона Кеплера можно решить всевозможные проблемы. Вот несколько:

    Сколько времени нужно, чтобы достичь Марса по наиболее эффективной орбите? Это называется «переходной орбитой Хомана» (Вольфганг Хоманн, 1925). Космический корабль должен сначала освободиться от Земли (он все еще вращается вокруг Солнца вместе с Землей со скоростью 30 км / с на расстоянии 1 а.е.), затем он добавляет скорость, так что его афелий (на своей орбите вокруг Солнца) просто задевает орбита Марса, A = 1,524 а. е. (без учета эллиптичности).
    Переходная орбита Хомана

Для орбиты Хомана наименьшее расстояние составляет 1,00 а.е. (Земля), наибольшее - 1,524 а.е. (Марс), поэтому большая полуось A = 0,5 (1,00 + 1,524) = 1,262 а.е. A 3 = 2,00992 = T 2.
Период - это квадратный корень T = 1,412 года.
Чтобы достичь Марса, требуется всего половина оборота или T / 2 = 0,7088 года.
Это примерно 8,5 месяцев, подробнее в разделе № 21b.

Чтобы добраться до Солнца прямо с Земли, нам нужно оторвать космический корабль от Земли. Он по-прежнему вращается вокруг Солнца с Землей со скоростью 30 км / с (низкая околоземная орбита занимает всего 8 км / с), поэтому нам нужно придать ему противоположную тягу, добавив (-30 км / с) к его скорости. Затем он падает прямо на Солнце.

Эта орбита также представляет собой эллипс, хотя и очень узкий. Его общая длина равна 1 (а.е.), поэтому большая полуось A = 0,5 а.е. По 3-му закону A 3 = 0,125 = T 2 и извлечение квадратного корня T = 0,35355 лет. Нам нужно разделить это на 2 (это поездка в один конец!) И умножить на 365,25, чтобы получить дни. Умножение: T / 2 = (0,5) 0,35355 (365,25) = 64,6 дня.

Это число находится в диапазоне от 6 3 = 216 до 7 3 = 343, поэтому, когда калькулятор дает R = 6,614 RE. Вы знаете, что у вас все правильно.

Если вы учитель, пытающийся охватить законы Кеплера, я надеюсь, что этот краткий обзор дал вам широкий спектр инструментов и идей, которые могут оказаться полезными в классе.

А теперь передай это! Вы найдете гораздо больше на описанных здесь веб-сайтах.


Законы движения планет Кеплера

Наши редакторы проверит присланный вами материал и решат, нужно ли редактировать статью.

Законы движения планет Кеплера, в астрономии и классической физике - законы, описывающие движение планет в солнечной системе. Они были получены немецким астрономом Иоганном Кеплером, чей анализ наблюдений датского астронома XVI века Тихо Браге позволил ему объявить свои первые два закона в 1609 году и третий закон почти десятью годами позже, в 1618 году. никогда не пронумеровал эти законы и не отличал их от других своих открытий.

Что означает первый закон Кеплера?

Первый закон Кеплера означает, что планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. Эллипс - это форма, напоминающая сплюснутый круг. Насколько круг сплющен, выражается его эксцентриситетом. Эксцентриситет - это число от 0 до 1. Для идеального круга он равен нулю.

Что такое эксцентриситет и как он определяется?

Эксцентриситет эллипса показывает, насколько сплюснутый круг. Он равен квадратному корню из [1 - b * b / (a ​​* a)]. Буква a обозначает большую полуось, ½ расстояния по длинной оси эллипса. Буква b обозначает малую полуось, ½ расстояния по короткой оси эллипса. Для идеального круга a и b одинаковы, так что эксцентриситет равен нулю. Орбита Земли имеет эксцентриситет 0,0167, так что это почти идеальный круг.

В чем смысл третьего закона Кеплера?

Как долго планета обращается вокруг Солнца (ее период, P), зависит от среднего расстояния планеты от Солнца (d). То есть квадрат периода P * P, деленный на куб среднего расстояния d * d * d, равен константе. Для каждой планеты, независимо от ее периода или расстояния, P * P / (d * d * d) - одно и то же число.

Почему орбита планеты тем медленнее, чем дальше от Солнца?

Планета движется медленнее, чем дальше от Солнца, потому что ее угловой момент не меняется. Для круговой орбиты угловой момент равен массе планеты (m), умноженной на расстояние от планеты до Солнца (d), умноженной на скорость планеты (v). Поскольку m * v * d не меняется, когда планета приближается к Солнцу, d становится меньше, когда v становится больше. Когда планета находится далеко от Солнца, d становится больше, чем меньше v.

Где находится Земля, когда она движется быстрее всего?

Из второго закона Кеплера следует, что Земля движется быстрее всего, когда находится ближе всего к Солнцу. Это происходит в начале января, когда Земля находится на расстоянии около 147 миллионов километров (91 миллион миль) от Солнца. Когда Земля находится ближе всего к Солнцу, она движется со скоростью 30,3 км (18,8 миль) в секунду.


Номенклатура

Потребовалось почти два столетия, чтобы нынешняя формулировка работы Кеплера приняла устойчивую форму. Вольтера Элементы философии Ньютона (Элементы философии Ньютона) 1738 г. было первым изданием, в котором использовалась терминология «законы». [1] [2] Биографическая энциклопедия астрономов в своей статье о Кеплере (стр. 620) заявляет, что терминология научных законов для этих открытий была актуальной, по крайней мере, со времен Жозефа де Лаланда. [3] Это была выставка Роберта Смолла в Отчет об астрономических открытиях Кеплера (1814 г.), которые составили свод из трех законов, добавив третий. [4] Смолл также утверждал, вопреки истории, что это были эмпирические законы, основанные на индуктивных рассуждениях. [2] [5]

Кроме того, нынешнее использование «Второго закона Кеплера» в некоторой степени неверно. У Кеплера было две версии, взаимосвязанные в качественном смысле: «закон расстояния» и «закон площади». «Закон области» - это то, что стало вторым законом из набора из трех, но сам Кеплер не придавал ему особого значения. [6]


Законы движения планет Кеплера: 1609–1666 *

Историки науки семнадцатого века часто утверждали, что законы движения планет Кеплера в значительной степени игнорировались в период между их первой публикацией (1609, 1619) и публикацией «Принципов Ньютона» (1687). На самом деле, однако, они были более широко известны и приняты, чем это было общепризнано.

Идеи Кеплера действительно довольно медленно утверждались, и примерно до 1630 года в литературе того времени было немного ссылок на них. Но с тех пор интерес к ним довольно быстро рос. В частности, принцип эллиптических орбит был принят большинством ведущих астрономов Франции до 1645 г. и примерно в 1655 г. в Англии. Он также получил довольно сильную поддержку в Голландии.

Второй закон имел более неоднозначную историю. Он был провозглашен в его точной форме несколькими авторами и использовался на практике некоторыми другими без явной формулировки, но большинство, особенно после 1645 года, предпочитало ту или иную из нескольких вариантов форм, которые были более простыми в использовании, но только приблизительно правильными. Третий закон вызвал меньший интерес, чем другие, главным образом, возможно, потому, что он не имел удовлетворительной теоретической основы, но он был правильно сформулирован по крайней мере шестью авторами за рассматриваемый период.

Примерно между 1630 и 1650 годами «Epitome Astronomiae Copernicanae» Кеплера (в котором были четко сформулированы все три закона) была, вероятно, самой читаемой работой по теоретической астрономии в Северной и Западной Европе, в то время как его таблицы Рудольфина, основанные на первых двух законах, были рассматривается большинством астрономов как наиболее точные из доступных планетных таблиц.

Работа Кеплера, конечно, не получила должного признания, но степень, в которой ей пренебрегли, сильно преувеличена.


Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера гласит, что квадрат периода обращения пропорционален кубу большой полуоси эллипса, очерченного орбитой. Третий закон можно доказать, используя второй закон. Предположим, что период обращения равен τ. Поскольку площадь эллипса равна πab, где a и b - длины большой и малой полуосей. Второй закон Кеплера гласит:

Из уравнения для эксцентриситета длины полуосей связаны соотношением:

Возведите обе части уравнения второго закона в квадрат, а затем подставьте этот результат для b²:

Напомним наше уравнение для r (θ):

Мы опускаем θ₀ и выбираем систему координат, в которой θ = 0 совпадает с апоапсисом. Длина апоапсиса равна a (1-e), и, приравнивая ее к r (0), мы получаем:

Теперь мы завершим доказательство, подключив это к уравнению для периода:


Понимание законов Кеплером

Кеплер не понимал, почему его законы верны. Исаак Ньютон открыл ответ на этот вопрос более пятидесяти лет спустя. Ньютон, понимая, что его третий закон движения был связан с третьим законом движения планет Кеплера, разработал следующее:

  • P = звездный период объекта
  • а = большая полуось объекта
  • грамм = 6,67 & умноженное на 10 & минус 11 Н · м 2 / кг 2 = гравитационная постоянная
  • м1 = масса объекта 1
  • м2 = масса объекта 2
  • & pi = математическая константа пи

Астрономы, занимающиеся небесной механикой, часто используют единицы года, AU, G = 1 и массы Солнца, а также м2 & lt & ltм1, это сводится к форме Кеплера. Единицы СИ также могут использоваться непосредственно в этой формуле.


Положение как функция времени

Кеплер использовал свои два первых закона для вычисления положения планеты как функции времени. Его метод включает решение трансцендентного уравнения, называемого уравнением Кеплера.

Процедура расчета гелиоцентрических полярных координат (р,θ) планеты как функция времени т начиная с перигелия, это следующие четыре шага:

1. Вычислить средняя аномалия M = нт куда п это среднее движение. радианы, где п это период. 2. Вычислить эксцентрическая аномалия E путем решения уравнения Кеплера: 3. Вычислить истинная аномалия θ по уравнению: 4. Вычислить гелиоцентрическое расстояние

Важный частный случай круговой орбиты, ε& # 160 = & # 1600, дает θ = E = M. Поскольку равномерное круговое движение считалось обычныйотклонение от этого движения считалось аномалия.

Доказательство этой процедуры показано ниже.

Средняя аномалия, M

Задача Кеплера предполагает эллиптическую орбиту и четыре точки:

s Солнце (в одном фокусе эллипса) z перигелий c центр эллипса п планета

расстояние между центром и перигелием, большая полуось, в эксцентриситет, в малая полуось, расстояние между Солнцем и планетой. направление на планету, если смотреть со стороны Солнца, истинная аномалия.

Проблема в том, чтобы вычислить полярные координаты (р,θ) планеты из время с перигелият.

Решается поэтапно. Кеплер считал круг с большой осью диаметром, а

проекция планеты на вспомогательный круг точка на окружности такая, что площади сектора |zcy| и |zsx| равны, в средняя аномалия.

Секторные области связаны между собой

Площадь кругового сектора

Площадь заметна с перигелия,

согласно второму закону Кеплера пропорциональна времени, прошедшему с перигелия. Итак, средняя аномалия, M, пропорционально времени, прошедшему с перигелия, т.

Эксцентрическая аномалия, E

Когда средняя аномалия M вычисляется, цель состоит в том, чтобы вычислить истинную аномалию θ. Функция θ = ж(M), однако, не является элементарным. [19] Решение Кеплера заключается в использовании

, Икс если смотреть из центра, эксцентрическая аномалия

в качестве промежуточной переменной и сначала вычислить E как функция M решив приведенное ниже уравнение Кеплера, а затем вычислите истинную аномалию θ от эксцентрической аномалии E. Вот подробности.

Деление по а 2/2 дает Уравнение Кеплера

Это уравнение дает M как функция E. Определение E для данного M это обратная задача. Обычно используются итерационные численные алгоритмы.

Вычислив эксцентрическую аномалию E, следующим шагом будет вычисление истинной аномалии θ.

Истинная аномалия, θ

Обратите внимание на рисунок, что

Деление на и вставляя из первого закона Кеплера

В результате получается полезная взаимосвязь между эксцентрической аномалией. E и настоящая аномалия & # 160θ.

Вычислительно более удобная форма получается путем подстановки в тригонометрическое тождество:

Умножение на 1 & # 160 + & # 160ε дает результат

Это третий шаг в связи между временем и положением на орбите.

Расстояние, р

Четвертый шаг - вычислить гелиоцентрическое расстояние р от истинной аномалии θ по первому закону Кеплера:

Используя указанное выше соотношение между θ а также E окончательное уравнение для расстояния р является:


Концепции, связанные с законами движения планет Кеплера

Примеров орбит предостаточно. Сотни искусственных спутников вращаются вокруг Земли вместе с тысячами обломков. Орбита Луны вокруг Земли интересовала людей с незапамятных времен. Не менее интересны орбиты планет, астероидов, метеоров и комет вокруг Солнца. Если мы посмотрим дальше, то увидим почти невообразимое количество звезд, галактик и других небесных объектов, вращающихся вокруг друг друга и взаимодействующих посредством гравитации.

Все эти движения регулируются гравитационной силой. Орбитальные движения объектов в нашей солнечной системе достаточно просты, чтобы их можно было описать несколькими довольно простыми законами. Орбиты планет и лун удовлетворяют следующим двум условиям:

  • Масса орбитального объекта, м, мала по сравнению с массой объекта, вокруг которого он вращается, M.
  • Система изолирована от других массивных объектов.

Основываясь на движении планет вокруг Солнца, Кеплер разработал набор из трех классических законов, называемых законами движения планет Кеплера, которые описывают орбиты всех тел, удовлетворяющих этим двум условиям:

  1. The orbit of each planet around the sun is an ellipse with the sun at one focus.
  2. Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times.
  3. The ratio of the squares of the periods of any two planets about the sun is equal to the ratio of the cubes of their average distances from the sun.

These descriptive laws are named for the German astronomer Johannes Kepler (1571–1630). He devised them after careful study (over some 20 years) of a large amount of meticulously recorded observations of planetary motion done by Tycho Brahe (1546–1601). Such careful collection and detailed recording of methods and data are hallmarks of good science. Data constitute the evidence from which new interpretations and meanings can be constructed. Let’s look closer at each of these laws.

Kepler’s First Law

The orbit of each planet about the sun is an ellipse with the sun at one focus, as shown in Figure 7.2. The planet’s closest approach to the sun is called perihelion and its farthest distance from the sun is called aphelion.

If you know the aphelion (rа) and perihelion (rp) distances, then you can calculate the semi-major axis (а) and semi-minor axis (б).

Kepler’s Second Law

Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times, as shown in Figure 7.4.

Tips For Success

Note that while, for historical reasons, Kepler’s laws are stated for planets orbiting the sun, they are actually valid for all bodies satisfying the two previously stated conditions.

Kepler’s Third Law

The ratio of the periods squared of any two planets around the sun is equal to the ratio of their average distances from the sun cubed. In equation form, this is

куда Т is the period (time for one orbit) and r is the average distance (also called orbital radius). This equation is valid only for comparing two small masses orbiting a single large mass. Most importantly, this is only a descriptive equation it gives no information about the cause of the equality.

Links To Physics

History: Ptolemy vs. Copernicus

Before the discoveries of Kepler, Copernicus, Galileo, Newton, and others, the solar system was thought to revolve around Earth as shown in Figure 7.5 (a). This is called the Ptolemaic model , named for the Greek philosopher Ptolemy who lived in the second century AD. The Ptolemaic model is characterized by a list of facts for the motions of planets, with no explanation of cause and effect. There tended to be a different rule for each heavenly body and a general lack of simplicity.

Figure 7.5 (b) represents the modern or Copernican model . In this model, a small set of rules and a single underlying force explain not only all planetary motion in the solar system, but also all other situations involving gravity. The breadth and simplicity of the laws of physics are compelling.

Nicolaus Copernicus (1473–1543) first had the idea that the planets circle the sun, in about 1514. It took him almost 20 years to work out the mathematical details for his model. He waited another 10 years or so to publish his work. It is thought he hesitated because he was afraid people would make fun of his theory. Actually, the reaction of many people was more one of fear and anger. Many people felt the Copernican model threatened their basic belief system. About 100 years later, the astronomer Galileo was put under house arrest for providing evidence that planets, including Earth, orbited the sun. In all, it took almost 300 years for everyone to admit that Copernicus had been right all along.

Explain why Earth does actually appear to be the center of the solar system.

  1. Earth appears to be the center of the solar system because Earth is at the center of the universe, and everything revolves around it in a circular orbit.
  2. Earth appears to be the center of the solar system because, in the reference frame of Earth, the sun, moon, and planets all appear to move across the sky as if they were circling Earth.
  3. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is at the center of the solar system and all the heavenly bodies revolve around it.
  4. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is located at one of the foci of the elliptical orbit of the sun, moon, and other planets.

Virtual Physics

Acceleration

This simulation allows you to create your own solar system so that you can see how changing distances and masses determines the orbits of planets. Click Help for instructions.


Practica Prophetica

F or eight years, Kepler sought unceasingly, with unremitting toil, to solve the law of planetary motion. During those years, he tried nineteen different hypotheses. One after another of these he was compelled to lay aside as not conforming to the motion of the planets. His courage and patience transfigured failure into success.

When, after days of study and nights of observation, the months showed a theory untenable, he turned from it without regret, knowing that there was one less theory to try. At last, he was compelled to give up every theory of the circle as the explanation of orbital motion. He then chose the next to the circle in simplicity, the ellipse. Here he found all the conditions met.

The problem at last was solved, and he cried,

“O almighty God, I am thinking Thy thoughts after Thee!”

When he had established his second and third laws, and written his exposition of them, he said:

“My book is written to be read either now or by posterity I care not which. It may well wait a century for a reader, since God has waited six thousand years for an observer.”

Other articles by Frank Zimmerman:

This entry was posted on Monday, December 16th, 2013 at 2:20 pm and is filed under Education. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.


Смотреть видео: Podcastul de Istorie #018 Bronzul și marile civilizații #1